【連載】記述的多変量解析 – 対応分析（コレスポンデンス・アナリシス）

5．対応分析（コレスポンデンス・アナリシス）

はじめに

データ行列の、（基本的には）行要素同士／列要素同士の距離関係を図示します。ポアソン分布する値の行列を標準化して特異値分解します。

ちなみに……

この手法は，数量化Ⅲ類（パタン分類の数量化）と、数学的には同等です。ただし、標準的には同じデータを分析したら同じ数字が出てくるのではありません。

また両者は、必ずしも同じ目的で作られたものではありません。同等の手法として使えますが、各手法の生み出される筋道は、林知己夫（以下、人名は敬称略）のパタン分類の数量化（数量化Ⅲ類）とベンゼクリのコレスポンデンスアナリシス（対応分析）とでは異なります。

どうも、両者は混同されているように感じます。ここでは対応分析（コレスポンデンスアナリシス）を扱います。

なお「数量化○類」という呼称は、飽戸弘によるものです。林知己夫本人も、この呼称をしばしば使ってはいましたが、林知己夫本人による命名ではありません。

対応分析の計算手続（ポアソン分布する値の標準化）

対応分析では、標準的には分割表（N表）を解析対象とします。ここではSA（シングル・アンサー：単一回答）のクロス集計表（分割表）を考えます。MA（マルチプル・アンサー：多重回答）の場合は、多重対応分析となり、また少し様子が異なってきます。ここでは扱いません。

以下、標準的な筋道での説明とは異なりますが、実測値を、ポアソン分布する値として、行と列を同時に標準化して、特位値分解する、という筋道で説明します。こうすると、値が正規分布する場合も同様の手続きで計算できるので（たとえば平均値表）、汎用性が出ます。

さて、分割表ですが、たとえば、下記（図表1）のようなものです。

図表1．分割表ここで各セルの値はポアソン分布すると考えます。そうすると、平均も分散も行和や列和で求められます。具体的に以下で見ていきます。

さて、あらためて図表1．の小計／合計部分を除いた度数表部分だけを行列で書くと、図表2．の通り。

この行列をもとに計算していきます。ちなみに総計（全体）は861です。

図表2．の行列について、行和を計算してみます。

同様に列和をとると、図表4．の通り。

これらを使って、期待値行列を計算します。これは、行和、列和、総計を使って求めます。これは、各セル（各成分）について、

で求められます。具体的に図表2．の行列について期待値行列を計算すると、図表5．の通り。

セルごとに実測値から期待値を引く（Ⅲ類で、固有値分解後の第一次元を捨てるのに相当）と、残差が求まります。

ここで、行和（図表3）と列和（図表4）から、行や列の標準偏差を計算します。これは単純に、

で求まります。ポアソン分布の場合、単純に合計を、平均としても分散としても用います。なので、行や列の標準偏差は、

あるいは

で求められます。後の都合もあり、以下ではそれぞれの逆数の対角行列で表しておきます。

さて、ややこしい話が続きましたが、＜図表7の行列（行の標準偏差の逆数の対角行列）×　図表6の行列（残差行列）×　図表8（列の標準偏差の逆数の対角行列）の行列＞によって、行と列について同時に標準化した、残差行列（平均からの偏差を、標準偏差で除した値）を計算します（図表9）。対応分析は、この行列（図表9．標準化した残差行列）を特異値分解することで解けます。

行のスコア／列のスコア

図表9．の行列を特異値分解すると、特異値と（左／右）特異ベクトルが求まります。得られた（左／右）特異ベクトルから、列和／行和の割合の平方根の逆数の対角行列と、特異値の対角行列を使って、行／列のスコアを計算します（計算過程省略）。

絶対寄与と相対寄与（平方相関）

対応分析でとても有用なのが、絶対寄与と相対寄与です。スコアの計算にあたっては、行要素／列要素ともその分散を揃えて（標準化して）計算（特異値分解）しました。絶対寄与／相対寄与の計算は、特異ベクトルに周辺度数をかけて、分散の大きさを戻して行います。

絶対寄与は、その軸では、どの要素に着目すればよいか（どの要素は気にしなくて良いか）を軸ごとに割合で示します。行要素／列要素ごと、各軸分を足し合わせると100％になっています。

絶対寄与は以下の通り。

相対寄与は、その要素では、どの軸に着目すればよいか（どの軸は気にしなくて良いか）を要素ごとに割合で示します（100をかければ％）。行要素／列要素とも、要素ごとにすべての軸を足し合わせると、1になっています。

相対寄与は以下の通り。

また、対応分析では、行と列の相関は必ず1を切ります（行要素と列要素は次元を共有しない）。もし、行と列の同時付置をする場合でも、次元間の相関があまり大きくない場合は、無視する（結果を見ない）ほうが良いかもしれません。あるいは見るとしても、次元間の相関は、1軸から順に小さくなっていくので、最低限（1軸×2軸）しか見ないほうが良いかもしれません。（理屈上は行と列は同時付置すべきではありません。ですが経験上はしばしば同時付置も行われています。本連載の例は同時付置です。）

解釈

図表1．の分割表を対応分析した結果は、通常、以下のようになると思います。

スコアを使って、行要素と列要素を同時付置すると、図表18．の通り。同時付置は理屈としては「誤り」ですが、ここでは相対的に両要素間の相関が高い、1軸と2軸だけを使って行っています。

Q1-5（赤線）、Q7（青線）とも、順序尺度となっているため、恐らく「馬蹄形問題」が起きているのでしょう。意味内容から考えても、2軸目の寄与率が26.1％とあまり大きくないことからしても、軸に名前を付ける意味もないでしょう。単純に、「生活満足度が高いことと、学生同士の仲が良いと思っていることとは、強く関係している」といった解釈で良いのではないのでしょうか。

なお、どちらの質問も（行要素も列要素も）、「2」「3」が原点近くに付置されています。逆に、Q1-5の「5」という点は、原点から離れて付置されています。これは、特異値分解する前の行列を作るとき、各セルとも、行、列の分散（行和、列和）で割っている（逆数の行列をかけている、標準化している）からです（度数の多い要素は大きな数字で割る＝値が小さくなる＝原点(0)に近づく）。

同様に（反対に）、行和あるいは列和が小さいことは、標準偏差（分散）が小さいことになります。値の標準化では、小さな値で割ります（結果、大きな値となります＝原点(0)から遠ざかります）。

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